☛ Étudier la convexité d'une fonction, f' et f''

Énoncé

Étudier la convexité de la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=(x+1)\text{e}^x\) .

Solution

\(f\)  est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=1 \times \text{e}^x+(x+1)\text{e}^x\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=(x+2)\text{e}^x\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)=1 \times \text{e}^x+(x+2)\text{e}^x\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)=(x+3)\text{e}^x\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ \text{e}^x>0\)  donc \(f''(x)\)  est du signe de \(x+3\) .

\(x+3=0 \Longleftrightarrow x=-3\)  

On obtient l e tableau de signes de \(f''(x)\)  suivant :

Ainsi \(f\)  est concave sur \(]-\infty\ ;\ -3]\)  et   \(f\)  est convexe sur \([-3\ ;\ +\infty[\) .